Contoh Soal Hubungan Linier

Posted by : Unknown Wednesday, 17 August 2016

HUBUNGAN LINEAR

PENGGAL DAN LERENG GARIS LURUS

Fungsi linear atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. Sesuai dengan namanya, setiap persamaan linear apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis, tegasnya garis lurus. Bentuk umum persamaan linear adalah y = a + bx, di mana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal –y, sedangkan b adalah koefisien arah atau lereng garis yang bersangkutan. Penggal a mencerminkan nilai y pada kedudukan x = 0. Adapun lereng b mencerminkan besarnya tambahan nilai y untuk setiap tambahan satu unit c, juga mencerminkan tangen dari sudur yang dibentuk oleh garis – y dan sumbu –x. Dalam kasus-kasus tertentu, garis dari sebuah persamaan linear dapat berupa garis horizontal sejajar sumbu –x atau garis vertikal sejajar sumbu –y. Hal ini terjadi apabila lereng garisnya sama dengan nol, sehingga ruas kanan persamaan hanya tinggal sebuah konstanta yang melambangkan penggal garis tersebut.

PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR

Pada prinsipnya sebuah persamaan linear bisa dibentuk berdasarkan dua unsur. Unsur tersebut dapat berupa penggal garisnya, lereng garisnya atau atau koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya. Berikut ini dicontohkan empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linear, masing-masing berdasarkan ketersediaan data yang diketahui. Keempat cara yang dimaksud adalah :

1. Cara dwi-koordinat

2. Cara koordinat-lereng

3. Cara penggal-lereng

4. Cara dwi-penggal

Cara Dwi-Koordinat

Dari dua buah titik dapat dibentuk persamaan linear yang memenuhi kedua titik tersebut. Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing masing (x_1,y₁) dan (x_2,y₂), maka rumus persamaan linearnya adalah

y – y₁= x – x₁

y₂– y₁x_{2 –}x₁

Contoh soal

Diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5), maka persamaan linearnya adalah :

y – y₁= x – x₁

y₂– y₁x_{2 –}x₁

y – 5 = x – 2

2 – 5 5 – 2

y – 5 = x – 2

-3 3

3(y – 5) = -3(x – 2)

3y – 15 = -3x + 6

3y = -3x + 6 + 15

3y = -3x + 21

2.2 Cara Koordinat – Lereng

Dari sebuah titik dapat dibentuk sebuah persamaan linear yang memenuhi titik dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan linearnya adalah :

y – y₁= b(x – x₁)

Contoh soal :

Diketahui bahwa titik A (4, 8) dan lereng garisnya adalah 1, maka persamaan linear yangmemenuhi kedua data ini adalah :

y – y₁= b(x – x₁)

y – 8 = 1(x – 4 )

y – 8 = x – 4

y = x – 4 + 8

y = x + 4

Cara Penggal – Lereng

Sebuah persamaan linear dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut.

y = a + bx

(a = penggal, b = lereng)

Contoh soal :

Diketahui penggal dan lereng garis y = f(x) masing-masing adalah 4 dan 8 maka persamaan linearnya adalah :

y = a + bx

y = 4 + 8x

Cara Dwi Penggal

y = a – a x

Sebuah persamaan linear dapat pula dibentuk apabila diketahui penggal garis tersebut pada masing-masing sumbu, yakni penggal pada sumbu vertikal (ketika x=0) dan penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0). Apabila a dan c masing-masing adalah penggal pada sumbu-sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus maka persamaan garisnya adalah :

a = penggal vertikal

b = penggal horizontal

contoh soal :

diketahui penggal sebuah garis pada sumbu vertikal dan sumbu horizontal masing-masing 3 dan 6 maka persamaan linear yang memenuhi adalah

y = a – a x

y = 3 – 3 x

y = 3 – 1 x

y = 3 – 0,5 x

3. HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

Dalam system sepsang sumbu-silang, dua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan yaitu :

a. Berimpit

Dua garis lurus akan berimpit apabil persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari persamaan garis lain. Dengan garis y_{1 =}a₁ + b₁ x akan berimpit dengan garis y_2
=a₂ + b₂x jika y₁= ny_2,a₁ = na₂dan b₁ = nb₂

b. Sejajar

Dua garis lurus akan sejajar apabila lereng garis yang satu sama denganlereng garis yang lain.

c. Berpotongan

Dua garis lurus akan berpotongan apabila lereng garis yang satu tidak sama dengan lereng garis yang lain.

d. Tegak Lurus

Dua buah garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng garis yang lain dengan tanda berlawanan.

4. PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN LINEAR

Mencari akar-akar persamaan maksudnya adalah menghitung besarnya nilai variabel-variabel di dalam persamaan yang bersangkultan. Dengan kata lain menghitung harga dari bilangan tak-diketahui dalam persamaan tersebut. Sebuah bilangan anu dapat dicari harganya melaui sebuah persamaan, dua bilangan anu hanya dapat dicari harganya melalui paling sedikit dua persamaan,.

Pencarian besarnya harga bilangan anu dari beberapa persamaan linear, atau persamaan-persamaan linear secara serempak, dapat dilakukn melalui tiga cara :

a. Cara subtitusi

Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat disielesaikan dengan vara menyelesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan untuk salah satu bilangan anu, kemudian mensubstitusikanya ke dalam persamaan yang lain.

Contoh : Carilah nilai x dan y dari dua persamaan berikut :

3x+8y = 24

x+2y = 12

Penyelasaian :

x = 12 – 2y

3x+8y = 24

3(12 – 2y) + 8y = 24

46 – 6y + 8y = 24

46 + 2y = 24

2y = 24 – 46

2y = - 22

y = - 22

y = - 11

x + 2y = 12

x + 2(-11) = 12

x + (-22) = 12

x = 12 + 22

x = 33

b. Cara eliminasi

Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dangan cara menghilangkan untuk sementara salah satu dari bilangan anu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan anu yang lain

Contoh : Carilah nilai x dan y dari dua persamaan berikut :

3x+2y = 30 dan x+4y = 20

Penyelesaian :

x+6y = 12 x2 2x+ 12y = 24

2x+3y = 6 x1 2x+3y = 6 (-)

9y = 18

y = 18/9

y = 2

x + 6y = 12

x + 6(2)= 12

x + 12 = 12

x = 12 – 12

x = 0

c. Cara determinan

Cara determinan aat di gunakan untuk menyelesaikan n persamaan dengan n bilangan anu. Kelebihan ialah cara determinan lebih efisien dalam menyelesaikan kasus-kasus dimana n cukup besar. Prinsip pengerjaan determinan ialah dengan mengalihkan unsur-unsurnya secara diagonal, dari kiri-atas menurun ke kanan-bawah dan dari kiri-bawah menaik ke kanan-atas, kemudian hasil perkalian menurun dikurangi dengan hasil perkalian menaik.

Contoh :

1. Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut :

4x + 2y = 8

3x + 7y = 21

4 2

D = = 22

3 7

8 2

D_x= = 14

21 7

4 8

D_y= = 60

3 21

X = D_x = 14 = 7

D 22 11

–

Y= D_y = 60 = 30

D 22 11

Carilah nilai-nilai x, y dan z dari persamaan-persamaan:

x + 2y + 4z = 8

3x + 7y + 9z = 27

x + y + z = 4

D = 1 2 4

3 7 9 = -6

1 1 1

D_x= 8 2 4

27 7 9 = -22

4 1 1

D_y= 1 8 4

3 27 9 = -21

1 4 1

D_z = 1 2 8

3 7 27 = -1

1 1 4

· x = D_x = -22

D -6

· y = D_y = -21

D -6

· z = D_z= -1

D -6

PENERAPAN EKONOMI

o Penerapan Fungsi Linear dalam Teori Ekonomi Mikro

1. Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar

2. Pengaruh pajak-spesifik terhadap keseimbangan pasar

3. Pengaruh pajak-proposional terhada keseimbangan pasar

4. Pengaruh subsidi tergadap keseimbangan pasar

5. Keseimbangan pasar kasus dua macam barang

6. Fungsi biaya dan fungsi penerimaan

7. Keuntungan, kerugian dan pulang-pokok

8. Fungsi anggaran.

o Penerapan Fungsi Linear dalam Teori Ekonomi makro 9 Fungsi konsumsi, fungsi tabungan dan angka-pengganda 10. Pendapatan disposabel

9. Fungsi Pajak

10. Fungsi Investasi

11. Fungsi Impor

12. Pendapatan nasional

13. Analisis IS-LM

Fungsi Permintaan, Fungsi penawaran dan Keseimbangan Pasar

Bentuk Umum Fungsi Permintaan

P = a – 1 Q

b b

Q = a - bP

Bentuk Umum Fungsi Penawaran

P = a + 1 Q

b b

Q = -a - bP

Q_d = Q_sc

KESEIMBANGAN PASAR

Q_d: jumlah permintaan

Q_s: jumlah penawaran

E : titik keseimbangan

P_e: harga keseimbangan

Q_e: jumlah keseimbangan

a. Keseimbangan Pasar

Q_d = Q_s

b. Pengaruh Pajak

Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ + t = (a + t) + bQ. Dengan kurva penawaran yang lebih tinggi, ceteris paribus, titik keseimbangan pun akan bergeser menjadi lebih tinggi.

tk = P’_e - P_e

Beban Pajak Yang Ditanggung Konsumen

tp = t - tk

Beban Pajak Yang Ditanggung Oleh Produsen

)

T = Q’_e x t

Jumlah Pajak Yang Diterima Oleh Pemerintah

4. Pengaruh Pajak-Proporsional Terhadap Keseimbangan Pasar

Jika persamaan penawaran semula P = a + bQ (atau Q = - a + 1 P)

b b

maka dengan dikenakannya pajak proporsional sebesar t % dari harga jul\al, persamaan penawaran yang baru akan menjadi :

P = a + bQ + tP

P – tP = a + bQ

(1 – t)1 = a + bQ

P = a + b Q atau Q = - a + (1 – t) P

(1 – t) (1 – t) b b

c. Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar

Jika sebelum subsidi persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah subsidi ia akan menjadi P’ = a + bQ – s = (a – s) + bQ. Dengan kurva penawaran yang lebih rendah, ceteris paribus, titik keseimbangan pun akan bergeser menjadi lebih rendah.

1. Bagian Subsidi yang Dinikmati Oleh Konsumen

sk = P_e– P’_e

2. Bagian subsidi yang dinikmati oleh produsen

sp= s– sk

3. Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah

S=Q^t_ex s

Contoh :

Diketahui : Qd : 10 – P

Qs : -5 + 2p

t : 2,5

s : 2

t : 10% = 0,10

Ditanya :

a. Keseimbangan Pasar

b. Keseimbangan Pasar Setelah Pajak

c. Pajak Yang Ditanggung Konsumen

d. Pajak Yang Ditanggung Prosusen

e. Pajak Yang Ditanggung Pemerintah

Jawaban :

a. Keseimbangan Pasar

Qd = Qs

10 – P = -5 + 2P

-P – 2P = - 5 - 10

-3P = -15

P = 3

Qd = 10 – P

= 10 – 5

= 5

Jadi, Pe = 5 dan Qe = 5

Penawaran sebelum pajak : P = 2,5 + 0,5Q

Penawaran setelah pajak : P = 2,5 – 0,5Q + 2,5

P = 5 + 0,5Q

Q = -10 + 2P

Persamaan permintaan tetap

P = 10 – Q Q = 10 – P

Keseimbangan Pasar

Qd = Qs

10 – P = -10 + 2P

-P – 2P = - 10 - 10

-3P = -20

P = 6,67

Qd = 10 – P

= 10 – 6,67

= 3,33

Jadi, P`e = 6,67 dan Q`e = 3,33

b. Beban Pajak Yang Ditanggung Konsumen

tk = P`e – Pe

= 6,67 – 5

= 1,67

c. Beban Pajak Yang Ditanggung Oleh Produsen

tp = t – tk

= 2,5 – 1,67

= 0,83

d. Jumlah Pajak Yang Diterima Oleh Pemerintah

T = Q_`e x t

= 3,33 x 2,5

= 8,33

d. Keseimbangan Pasar Kasus’ Dua Macam Barang

Apabila barang x dan barang y mempunyai hubungan penggunaan permintaan akan masing-masing barang dipengaruhi juga, oleh harga barang lainnya, maka fungsi permintaan akan masing-masing barang tersebut adalah :

Q_{dx =}f(P_x, P_y)

Q_dx: Jumlah permintaan akan X

Q_dy: Jumlah permintaan akan Y

Q_{dy =}g(P_y, P_x)

P_x: Harga X per Unit

P_y: Harga Y per Unit

e. Fungsi Biaya dan Fungsi Penerimaan

Fungsi biaya. Biaya total yang dikeluatkan oleh sebuah perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya tetap dan biaya variabel. Sifat biaya tetap adalah tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan. Biaya variabel merupakan fungsi dari jumlah barang yang dihasilkan, kurva berupa sebuah garis lurus bserlereng positif dan bermula dari titik pangkal

FC = k

VC = f(Q) =vQ

C =g(Q) =FC + VC = k +vQ

FC : biaya tetap

VC : biaya variabel

C : biaya total

k : konstanta

v : lereng kurva VC dan kurva C

Fungsi penerimaan. Penerimaan sebuah perusahaan dari hasil penjulan barang merupakan fungsi dari jumlah barang yang terjulan atau dihasilkan. Penerimaan total adalah hasil kami jumlah barang yang terjual dengan harga jula per unit barang tersebut. Secara matematik pernerimaan merupakan fungsi jumlah barang,kurvanya berupa garis lurus berlereng positif dan bermula dari titik pangkal.

R = Q x P = f(Q)

f. Analisis Pulang-Pokok

Penerimaaan dan biaya merupakan variabel-variabel penting untuk mengetahui kondidi bisnis suatu perusahaan. Dengan diketahuinya penerimaan total (R) yang diperoleh dan biaya total (C) yang dikeluarkan,dapt dianalisis apakah perusahan mendapat untung atau mengalami keugian.

g. Fungsi Anggaran

Fungsi Anggaran yaitu teori produksi dan teori konsumsi. Pada teori produksi, fungsi anggaran mencarminkan bats maksimum kemampuan seorang produsen membeli dua atau lebih macam masukan, berkenaan dengan jumlah dana. Pada teori konsumsi, fungsi anggaran menvserminkan batas maksimum kemampuan seorang konsumen membeli dua macam atau lebih keluaran, berkenaan dengan jumlah pendapatannya dan harga masing-masing. Bantuk umu persamaan fungsi anggaran :

M = x.P_x + y.P_y

Pada teori produksi

M : jumlah dana produsen

x : jumlah masukan X

y : jumlah masukan Y

P_x: harga X per unit

P_y : harga Y per unit

Pada teori produksi

M : jumlah pendapatan produsen

x : jumlah keluaran X

y : jumlah keluaran Y

P_x: harga X per unit

P_y : harga Y per unit

h. Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan Angka Pengganda

Y = C + S

R = Q x P = f(Q)

Dalam ekonimi makro, pendapatan masyarkan suatu negara secara keseluruhan dialokasi ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsikan dan ditabung. Dapat dirumuskan :

Y : Pendapatan

C : Konsumsi

S : Tabungan

C = f(Y) = C₀ + cY

Fungsi konsumsi menjelaskan hubungan anta konsumsi san pendapatan nasional, yang dirumuskan :

C₀: konsumsi otonom

c : MPC = ∆C/∆Y

Fungsi tabungan menjelaskan hubungan antara tabungan dan pendapat nasional, yang dirumuskan :

S = g(Y)= So + sY

S₀: tabungan otonom

S : MPS = ∆S/∆Y

Anggka-Pengganda ialah suatu bilangan yang menjelaskan tambahan pendapatan nasional sebagai akibat adanya perubahan pada variabel tertentu dlam perekonomian, yang dirumuskan :

K 1 1

1-c s

i. Pendapatan Disposabel

Pendapatan Disposabel adalah pendapat nasional yang secara nyata, dapat dibelanjakan oleh masyarakat, tidak temasuk didalamnya pendapatan pemerintah seperti pajak, cukai dan sebagainya. Gambaran secara umum, jika pendapatan nasional adalah sebesar Y, tetapi di dalamnya termasuk pendapatan pemerintahan atau pajak sebesar T, maka pendapatan yang sevara nyata dapat dibelanjakan oleh masyarakat hanyalah sebesar Y_d = Y – T.

Berdasarkan terdapat tidaknya pajak (T) dan pembayaran alaihan (R) di dalam perekonomian suatu negara, besarnya pendapatan disposabel (Y_d) masyarakat negara yang bersangkutan dapat dirinci sebagai berikut :

a. Dalam hal tidak terdapat pajak maupun pembayaran alihan,

Yd = Y

Y : Pendapatan Nasional

Yd : Pendapat disposabel

b. Dalaml hal hanya terdapat pajak

Yd = Y + T

c. Dalam hal hanya terdapat pembayaran alihan

Yd = Y + R

d. Dalam hal terdapat pajak maupun pembayaran alihan

Yd = Y – T +R

Y_d=Y

j. Fungsi Pajak

Secara sistematik, T = T_o,Kurva pajak berupa garis lurus sejajar sumbu pendapatan.

Secara matematik, T = tY. Kurva pajak berupa garis lurus berlereng positif dan bermula dari titik pangkal.

Secara keseluruhan besar pajak yang diterima pemerintah T=T_o+tY. Kurva pajak berupa garis lurus berlereng positif dan bermula dari penggal T_o.

T_o: pajak otonom (autonomous tax)

t : proporsi pajak terhadap pendapatan

l. Fungsi Investasi

I = f(i)

I =I₀ - P_i

I_o: Investasi otonom

I : tingkat bunga

p : proporsi I terhadap i

m. Fungsi Impor

M = M_o+ mY

M_o : Impor otonom

Y : pendapatan nasional

M : marginal propensity to import = ∆M/∆Y

n. Pendapatan Nasional

pendapatan nasional adalah jumlah nilai seluruh keluaran (barang dan jasa) yang dihasilkan oleh suatu negara dalam jangka waktu tertentu. Penghitungan pendapatan nasional dapat dilakukan dengan tiga macam pendekatan yaitu pendekatan produksi, pendekatan pendapatan dan pendekatan pengeluaran.

o. Analisis IS-LM

Analisis yang membahas keseimbangan serempak di pasar barang dan pasar uang dikenal dengan sebutan IS-LM. Kurva IS ialah kurva yang menunjukkan keseimbangan antara pendapatan nasional dan tingkat bunga di pasar barang.

I = Io – pi I = S Y = Io – S p i

S = So – sY Io – pi = So + sY S s

{ 1 comments... read them below or add one }

Unknown7 November 2021 at 13:53
Assalamualaikum kak, saya mohon maaf sebelumnya kak...
Tapi penyelesaian pada contoh soal "dwi-koordinat" itu ada kekeliruan kak... 🙏

Terima kasih atas perhatiannya kak.. 🙏
ReplyDelete
Replies

Add comment

KULIAH JIMMI

Contoh Soal Hubungan Linier

{ 1 comments... read them below or add one }

Blog Archive

Labels

About Me

About

Popular Posts

Labels

BTemplates.com

Blogroll

About

Blogroll

Blog Archive

Labels

BTemplates.com